By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

Dr. Otto Forster ist Professor am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München und Autor der bekannten Lehrbücher research 1-3.

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H. anv - l = e. Lm. Das bedeutet aber, dass n und m teilerfremd sind. Beispiel. Ein schones Beispiel einer zyklischen Gruppe ist die multiplikative Gruppe der m-ten Einheitswurzeln im Korper der komplexen Zahlen C. Sie besteht aus den m Elementen e2bri / m , k = 0,1, ... , m -1, die in der komplexen Zahlenebene auf dem Einheitskreis liegen und die Ecken eines regelmaBigen m-Ecks bilden. Ein erzeugendes Element dieser Gruppe wird primitive m-te Einheitswurzel genannt. Natiirlich ist e 27ri / m ein erzeugendes Element.

Beweis. a) Fur den Ring Z kann man (3 als die gewohnliche Betragsfunktion wahlen, (3(x) := Ixl. 5. §4 24 b) 1m Ring der ganzen Gau:B'schen Zahlen setzen wir Es ist also (3(z) = Iz12, wobei Izl den iiblichen Betrag fUr komplexe Zahlen bezeichnet. Seien nun z, w E Z[i], w 1: 0 und c := z/w der Quotient von z und w im K6rper

Es gibt jedoch einen noch schnelleren Algorithmus. 18 §3 Ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen Wir set zen zur Abkiirzung in = fib(n). Die Rekursions-Formel fiir die FibonacciZahien Iasst sich in Matrizen-Schreibweise so ausdriicken: ( in+l) in = (11 01) (in-l in ). Durch n-malige Anwendung dieser Formel erhalt man wobei Da (1) A = (i ~). (j~) = A (~) , folgt ( in+l in )=An(l 0l)=An. in in-l ° Man sieht, dass die Berechnung von fib( n) auf die Berechnung der n- ten Potenz einer Matrix hinausiauft, fiir die man ein zum Potenzierungs-Algorithmus des vorherigen Paragraphen analoges Verfahren anwenden kann.

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